]]>
]]>
]]>
Смешно то, что шнур растянется до плотности менее 1 атома на погонный метр задолго до окончания задачи... примерно на $10^{23}$ секунде.
Статистика: Добавлено Munin — 26 апр 2011, 00:20
]]>
den решал через дифференциальное уравнение и получил величину $2,688117142\cdot10^{43}$
По порядку $10^{43}$ наши величины совпадают, но сами величины разные. Я думаю, что причина кроется в искусственности движения введённого мною в моём решение изначально. Искусственность у меня заключается в том, что сначала двигается один (например паук), а другой (человек) ждёт, потом двигается человек, паук ждёт. Искусственность эту я ввела сознательно для того, чтобы, как мне кажется, упростить решение задачи (уйти от решения дифф.уравнений). Поэтому, хотя ответы по порядку величин у меня и den-а одинаковые, но числа всё же разные.
Решение den-а правильное, точное. Моё решение приблизительное, оценочное (по порядку величины).
Статистика: Добавлено Alia — 25 апр 2011, 14:16
]]>
$$\frac{x}{L}=\frac{x+dx}{L+dL},$$ где $L=L_0+Vt$ и, следовательно $$\frac{x}{L}=\frac{x+V_rdt}{L_0+Vdt},$$
откуда $V_r =V\frac{x}{L},$ подставим это в соотношение $\frac{dx}{dt}=v+V_r,$ и получим
$$\frac{dx}{dt}=v+x\frac{V}{L_0+Vt}.$$ В безразмерных переменных $(x' \to x/L,\; t' \to t/\left( L/V \right),\;v' \to v/V)$ уравнение
для координаты, определяющей положение паучка,
$$
\frac{{dx'}}{{dt'}} = v' + \frac{x'}{{1 + t'}}.
$$
Как известно это однородное диф. ур. которое сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены $z=\frac{x'}{t'+1},$ тогда $\frac{{dz}}{{dt'}}=\frac{{v'}}{{t'+1}}$ его решение $$z-z_0=v'\ln\left(t'+1\right)\left. \right|{_{t'_0}^{t'}}.$$ В координатах $x'$ и с учётом начальных условия $x'(t'_0)=x'(0)=0,$ получим $x' = v'(1 + t')\ln (1 + t').$ Или в старых переменных $x$
$$x(t)={v\over V}(L_0+Vt)\ln\left({1+{Vt\over L_0}}\right).$$ Очевидно что это решение имеет смысл пока паук не догонит человека $t<T.$ Приравнивая это выражение координате человека в момент времени $t$, которая равна $L=L_0+Vt,$ окончательно будем иметь
$$T=\frac{L_0}{V}\left(e^{\frac{V}{v}}-1\right)=e^{100}-1$$
Надеюсь что после подробного решения и разъяснений Alia и этого решения вопросов не осталось.
Статистика: Добавлено den — 24 апр 2011, 22:49
]]>
]]>
]]>
правый край делает шаг
паук делает шаг
правый край делает шаг
паук делает шаг
край делает шаг
паук делает шаг
край делает шаг
паук делает шаг
край делает шаг
паук делает шаг
теперь хорошо видно, что паук прошёл большую часть половину пути до правого края резинки. Далее он будет догонять правый край так , как это было на рисунках моего предыдущего сообщения.
Статистика: Добавлено Alia — 24 апр 2011, 10:53
]]>
Расстояние между точками |AB|=|BC|=CD|=1см, |AD|=3см
Допустим, что эту резиновую ленту растянули в два раза, т.е. теперь её длина стала 6cм. Вопрос: какое теперь будет расстояние между точками А и В, В и С, С и D?
Если резиновая лента изготовлена из материала одинакового в любом её месте, то и её ”резиновые свойства” в любом её месте одинаковы. Тогда, если резиновую ленту растянули в длину в два раза от её первоначальной длины, то и расстояния между точками нанесёнными на её поверхности также увеличатся в два раза. То есть, все расстояния на поверхности резинки вдоль её длины пропорционально увеличились. Теперь расстояния между точками будут таковы |AB|=|BC|=CD|=2см, |AD|=6см
Если есть сомнения, что так получится, то можно провести домашний ”эксперимент”. Взять резинку, расположить её вдоль линейки и нанести ручкой на эту резинку метки (полоски) А,B,C,D То есть, чтобы |AB|=|BC|=CD|=1см, |AD|=3см. Теперь, если эту резинку растянуть вдоль линейки так, чтобы расстояние между крайними метками (полосками) А и D вместо 3см, стало 6 см. Тогда можно увидеть (у меня было видно), что расстояние между другими метками тоже удвоилось. То есть, |AB|=|BC|=CD|=2см, |AD|=6см
Дальше я изобразила очень (очень) упрощённую, наглядную, модельную задачу, почти без математики . С помощью которой хочу показать, как паук имея скорость меньшею в два раза, чем скорость движения правого конца растягивающей резиновой ленты, всё же доходит до её правого конца, преодолевая всю длину растянутой ленты.
Пусть имеется резиновая лента длиною 2 см. Левый её конец неподвижно закреплён, а правый её конец может двигаться. На левом конце этой ленты находится паук (голубая метка П). Внизу находится линейка, вдоль которой растягивается резиновая лента.
Для простоты и наглядности пусть движения паука и правого конца резиновой ленты происходят по очереди (так проще, наглядней).
Допустим, первый ход делает паук, перемещаясь вдоль поверхности ленты на 1см за 1 сек.
Паук будет находится на поверхности ленты на расстоянии 2-1=1см от её правого конца.
Следующий ход делает правый конец резиновой ленты, смещаясь на 2см вправо за 1 сек. То есть, скорость смещения правого конца ленты больше, чем скорость паука относительно поверхности ленты. Все расстояния между точками на поверхности ленты вдоль её длины растянутся пропорционально удлинению самой ленты. То есть, если длина ленты была 2см, стала 4 см, то на ленте пропорционально её удлинению 4/2=2 всё удлинится в направлении растяжения ленты.
Теперь паук окажется от левого неподвижного края ленты на расстоянии 1*2=2см. Правый конец ленты находится на расстоянии 4см от левого. Расстояние между пауком и правым краем теперь будет 4-2=2см
Дальнейший ход на 1 см делает паук.
Паук оказался на расстоянии 2-1=1 см от правого края ленты.
Дальше делает ход на 2см правый конец ленты.
Длина ленты стала 6см, значит она и все расстояние между её точками растянутся (увеличатся) в 6/4=1,5 раз. Поэтому паук теперь будет находится на расстоянии 1*1,5=1,5см от правого конца ленты.
Следующий ход паука. Он перемещается по поверхности ленты на 1см и оказывается на расстоянии 1,5-1=0,5 см от её правого конца.
Дальнейший ход делает правый конец резинки на 2 см вправо.
Резинка растянулась в 8/6=1,33 раз. Паук оказался на расстоянии 0,5*1,33=0,66см от её правого края.
Следующий ход на 1см делает паук и он догоняет правый конец резинки.
Своё решение (более строгое) подобной задачи я приводила на первой странице данной темы.
Статистика: Добавлено Alia — 24 апр 2011, 07:01
]]>
Правда я не совсем уверен подойдет ли. Где $L_0=1 \text{м},$ $v_0=1 \text{см/сек},$ $V=1 \text{м/сек}.$
Статистика: Добавлено Schein — 24 апр 2011, 02:04
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>