Munin » 27 авг 2011, 20:16
Во втором выражении используется набор переменных величин $g_{\mu\nu},$ образующий что-то типа матрицы с двумя индексами. Его можно считать имеющим стандартный вид
$$g_{\mu\nu}=
\left(\begin{array}{rrrr}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{array}\right)
=\mathop{\mathrm{diag}}(1,-1,-1,-1).$$
Кроме того, используется соглашение о суммировании, когда в выражении, включающем один индекс два раза, подразумевается знак суммы по этому индексу (в данном случае от 0 до 3), но не пишется, чтобы не загромождать запись. Если всё это раскрыть, второе выражение оказывается равным первому. Точнее, я ошибся, второе выражение правильно выглядит как
$$g^{\mu\nu}\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^\mu\partial x^\nu}=0,$$
где $g^{\mu\nu}$ - матрица, обратная к матрице $g_{\mu\nu},$ но в стандартном виде это одна и та же матрица. В ОТО $g_{\mu\nu}$ (этот конкретный набор величин называется "метрический тензор") всегда могут быть приведены к стандартному виду в любой заданной точке, но при этом в соседних точках они будут иметь другие значения.
Волна - это (в простейшем смысле) решение уравнения вида $\varphi(x,\ldots,t)=\varphi_{данное}(x\pm ct,\ldots),$ и в ней нигде не указано, происходит ли распространение вперёд или назад во времени. Если условие уравнения стоит в начале, то есть задано $\varphi$ при $t=0,$ а требуется найти $\varphi$ при $t>0,$ то получается, что волна распространяется (от начальных условий) вперёд, в будущее. Если наоборот, условие конечное, и требуется найти $\varphi$ при $t<0,$ то та же волна распространяется назад, в прошлое. Можно поставить и краевое условие, когда $\varphi$ задано при $x=0,$ а ищется при $x>0,$ тогда волны могут распространяться и в прошлое, и в будущее. Такие условия постоянно используются, например, конечные условия - при анализе предыстории нынешнего состояния, краевые условия - при отражении волн от зеркальных поверхностей.
Точно так же, как и волна, причинно-следственная связь тоже может быть рассмотрена в обе стороны: и как то, что причины привели к следствиям, и как то, что следствия были обусловлены причинами. Просто у нас есть события раньше и позже по времени, и логическая связь между ними. Как их упорядочить - в конечном счёте вопрос только удобства, не заложенный внутрь математического аппарата теории (кроме одной теории из перечисленных: статистической физики; но её эффектами очень часто можно пренебречь). И этот вопрос удобства часто решается по-разному.