Задача Сахарова

[Varjg]

[den]

[den]

Для того чтобы подвести некоторый итог в этой теме остановлюсь более (максимально) подробно на своём решении.
Пусть первоначальная длина резинки $L_0,$ скорость человека $V,$ а собственная скорость паука $v.$ Скорость паука относительно стены равна $\frac{dx}{dt}=v+V_r,$ где $V_r$ скорость резинки, которая, очевидно, является линейной функцией $x$. Из соотношения пропорциональности
$$\frac{x}{L}=\frac{x+dx}{L+dL},$$ где $L=L_0+Vt$ и, следовательно $$\frac{x}{L}=\frac{x+V_rdt}{L_0+Vdt},$$
откуда $V_r =V\frac{x}{L},$ подставим это в соотношение $\frac{dx}{dt}=v+V_r,$ и получим
$$\frac{dx}{dt}=v+x\frac{V}{L_0+Vt}.$$ В безразмерных переменных $(x' \to x/L,\; t' \to t/\left( L/V \right),\;v' \to v/V)$ уравнение
для координаты, определяющей положение паучка,
$$
\frac{{dx'}}{{dt'}} = v' + \frac{x'}{{1 + t'}}.
$$
Как известно это однородное диф. ур. которое сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены $z=\frac{x'}{t'+1},$ тогда $\frac{{dz}}{{dt'}}=\frac{{v'}}{{t'+1}}$ его решение $$z-z_0=v'\ln\left(t'+1\right)\left. \right|{_{t'_0}^{t'}}.$$ В координатах $x'$ и с учётом начальных условия $x'(t'_0)=x'(0)=0,$ получим $x' = v'(1 + t')\ln (1 + t').$ Или в старых переменных $x$
$$x(t)={v\over V}(L_0+Vt)\ln\left({1+{Vt\over L_0}}\right).$$ Очевидно что это решение имеет смысл пока паук не догонит человека $t<T.$ Приравнивая это выражение координате человека в момент времени $t$, которая равна $L=L_0+Vt,$ окончательно будем иметь
$$T=\frac{L_0}{V}\left(e^{\frac{V}{v}}-1\right)=e^{100}-1$$
Надеюсь что после подробного решения и разъяснений Alia и этого решения вопросов не осталось.

[Alia]

Хочу добавить.
Я решала через сумму гармонического ряда и у меня получилась величина $1,50926886221\cdot10^{43}$
den решал через дифференциальное уравнение и получил величину $2,688117142\cdot10^{43}$
По порядку $10^{43}$ наши величины совпадают, но сами величины разные. Я думаю, что причина кроется в искусственности движения введённого мною в моём решение изначально. Искусственность у меня заключается в том, что сначала двигается один (например паук), а другой (человек) ждёт, потом двигается человек, паук ждёт. Искусственность эту я ввела сознательно для того, чтобы, как мне кажется, упростить решение задачи (уйти от решения дифф.уравнений). Поэтому, хотя ответы по порядку величин у меня и den-а одинаковые, но числа всё же разные.
Решение den-а правильное, точное. Моё решение приблизительное, оценочное (по порядку величины).

[Munin]

Я думал, что решение Alia точное, поскольку не вчитывался в условия. Дело в том, что существуют две такие задачи: одна в непрерывной формулировке, другая в дискретной (то ли шнур растягивается рывками, то ли паучок-червячок перемещается рывками, не помню; кажется, в популярной книге М. Гарднера). Для такой задачи суммирование гармонического ряда даёт точный ответ. Разумеется, обе задачи по сути одинаковые, а отличие ответов укладывается даже в пределы одного порядка.

Смешно то, что шнур растянется до плотности менее 1 атома на погонный метр задолго до окончания задачи... примерно на $10^{23}$ секунде.

[nefizik]

[SergeyGubanov]

Моё решение.

Метрика двумерного пространстве событий Мира паучка:
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - m(t)^2 dx^2, \qquad m(t) = \frac{t}{T}
$$
Паучок путешествует из $t_0, x_0$ в $t_1, x_1$, скорость паучка относительно глобальной инерциальной системы отсчёта постоянна и равна $v$.

Легко видеть, что в глобальной инерциальной системе отсчёта одномерная пространственная метрика такова:
$$
d\ell^2 = m(t)^2 dx^2.
$$
Скорость паучка в этой системе:
$$
\frac{d\ell}{dt} = v
$$
Поскольку $d\ell = m(t) dx$, значит:
$$
m(t) \frac{dx}{dt} = v
$$
Подставляем явное выражение для $m(t)$, получаем
$$
\frac{dx}{dt} = \frac{v \, T}{t}
$$
Интегрируя с учётом начальных значений, получаем
$$
x(t) = x_0 + v \, T \ln \left( \frac{t}{t_0} \right)
$$
Значит
$$
t_1 = t_0 \exp \left( \frac{x_1 - x_0}{v \, T} \right)
$$
Время глобальной инерциальной системы потраченное паучком:
$$
t_{01} = t_1 - t_0 = t_0 \left( \exp \left( \frac{x_1 - x_0}{v \, T} \right) - 1 \right).
$$
$T=1$ секунда, $t_0 = T$, $v=1$ см/сек, $x_1 - x_0=100$ см, ответ в секундах:
$$
t_{01} = \left( e^{100} - 1 \right).
$$
Собственное время паучка будет меньше на множитель $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.

[den]