Парадокс Ольберса

[den]

Если бы Вселенная была бесконечно старая и бесконечно протяжённая, а звезды могли бы светить вечно, то в каком бы направлении Вы ни взглянули, луч Вашего зрения попал бы на поверхность звезды, и тогда всё небо стало бы таким же ярким, как поверхность Солнца. Это утверждение известно как парадокс Ольберса.
Сделаем количественную формулировку этого парадокса.

Пусть $n$ -- средняя плотность звёзд во Вселенной, а $L$ -- средняя светимость звезды. Наблюдаемая на Земле освещённость (поверхностная плотность светового потока) от звезды светимости $L$, находящейся на расстоянии $r$ $$
F(r) = {L \over {4\pi r^2 }}
$$
Рассмотрим сферическую оболочку радиуса $r$, толщины $dr$, центрированную на Земле. Интенсивность излучения от звёзд, заключённых в этой оболочке, (мощность, падающая на единицу площади с одного стерадиана)
$$
dP(r) = F(r) \cdot n \cdot r^2 dr = {{nL} \over {4\pi }}dr
$$
Важно, что полная интенсивность излучения, поступающего от оболочки, не зависит от расстояния до неё. Поэтому полная интенсивность излучения от всех звёзд во Вселенной
$$
P = \int_0^\infty {dP = {{nL} \over {4\pi }}\int_0^\infty {dr} }
$$
расходится в случае бесконечной стационарной Вселенной.
Парадокс Ольберса является иллюстрацией так называемого ''закона неверного наименования'': никакой закон не называется именем человека, который в действительности открыл его. Рассматриваемый парадокс был известен за 150 лет до того, как его сформулировал Ольберс (Diggers (1576)).

[den]

Видимая светимость звезды с абсолютной светимостью $L$, удалённой на расстояние $r$, будет равна $4\pi r^2L$. Если плотность таких звёзд постоянна и равна $n$, то число звёзд, находящихся в слое между $r$ и $r+dr$, равно $4\pi n r^2dr$, а плотность общей излучённой энергии всех звёзд равна
$$
\rho _s = \int\limits_0^{R_H} \frac L {4\pi r^2} 4\pi r^2 dr = Ln\int\limits_0^{R_H} dr = LnR_H.
$$
Таким образом, решение парадокса Ольберса как раз и заключается в том, что свет к нам приходит не от всей бесконечной Вселенной, а только от звезд, расположеных внутри хаббловской сферы.

[kodusass]

[den]

[Munin]

[den]

[Munin]

Хмм... Интересно, два названных мной эффекта действуют в противоположные стороны (понижая и повышая величину интеграла), но не компенсируют друг друга. Второй пропорционален квадрату отношения масштабных факторов на момент наблюдения и момент излучения, а первый - только первой степени. Получается, второй выигрывает, так, что ли? Проверьте меня, пожалуйста.

[den]

[Munin]

Я говорил о разнице в подынтегральных выражениях, а не в точке обрезания. Я предложил, что подынтегральное выражение должно быть умножено на $a_0/a(t)$ в какой-то степени, где $a(t)$ - масштабный фактор, $a_0$ - его современное значение. В силу того, что Вселенная расширяется почти равномерно, можно приближённо считать $a(t)\approx a_0 t/t_0\approx a_0 H_0 t,$ где $H_0$ - современное значение постоянной Хаббла, а $t$ - собственное время. В то же время, $r=c(\tau_0-\tau),$ где $\tau$ - конформное время, так что совсем уж приближениями не обойтись. Вопрос я задавал о конкретной степени $a_0/a(t)\colon$ для учёта красного смещения нужен множитель $\bigl(a_0/a(t)\bigr)^{-1},$ а для учёта изменения геометрического масштаба звёзд - $\bigl(a_0/a(t)\bigr)^{2}.$ Правильно ли это, и не забыл ли я ещё о чём-то, я и спрашивал.

О пределе интегрирования я, до вашего замечания, не думал. Я подразумевал интегрирование "до конца", то есть до начальной сингулярности $t=\tau=0.$ Хотя физически это не оправдано: в "тёмные века" ещё не было звёзд, а дальше имеет место сфера последнего рассеяния, глубоко за которую, действительно, продолжать интеграл нет смысла. Возможно, следует разбить интеграл на несколько частей (две), отдельно учитывая звёзды (интеграл от нуля до "тёмных веков") и плазму Большого Взрыва (интеграл по сфере последнего рассеяния). Привлекает то, что и там и там излучающая плазма имеет (в локальных единицах измерения) один порядок температуры и светимости.

Обрезать интеграл на сфере Хаббла я не вижу вообще никакого смысла. Как описано здесь: http://astronet.ru/db/msg/1194830 - сфера Хаббла есть просто некая мысленно проведённая граница, не отвечающая никаким реальным физическим эффектам. Например, свет звёзд, пришедший до нас, не обращается в нуль, когда расстояние до звезды пересекает эту сферу (это бы происходило в случае горизонта событий). Наконец, сфера Хаббла отвечает сравнительно небольшим $z,$ а реально наблюдаются галактики (и отдельные звёзды, в случае сверхновых) гораздо дальше.

[den]