1. Вычислить плотность тёмной материи в СКМ. Найти в этой модели значение космологической константы.

2. Используя СКМ параметры найти зависимость относительной плотности тёмной энергии $\Omega_{\Lambda}$ от красного смещения. Построить график $\Omega _\Lambda  (z)$.

3. Оценить число звёзд во Вселенной, описываемой СКМ.

4. Найти отношение плотности тёмной энергии в СКМ к плотности энергии электрического поля напряжённости $1 V/m$ Сравнить плотность тёмной энергии с плотностью энергии гравитационного поля на поверхности земли.

5. Оцените расстояние между двумя нейтральными атомами водорода, на котором сила их гравитационного притяжения уравновешивается силой отталкивания, генерируемой тёмной энергией в форме космологической константы. Выполнить те же оценки для системы Земля-Солнце.

6. Может ли открытая Вселенная реколлапсировать либо закрытая Вселенная расширяться вечно?

7. Текущие наблюдения показывают, что Вселенная с хорошей точностью является плоской: $\left|\Omega _{curv} \right|<0.02$. Рассмотрим гипотетическую ситуацию: во Вселенной мгновенно выключилась тёмная энергия, а кривизна столь же мала, причём $k=+1\, \left(\Omega _{curv} <0\right)$ (Вселенная замкнута). При каком отношении масштабных факторов $a(t)/a_{0} $ в такой Вселенной расширение сменится сжатием?

8. Вычислить величину физического ускорения в СКМ.

9. Используя СКМ параметры определить красное смещение, при котором плотности излучения и материи были равны.

10. Записать первое уравнение Фридмана в СКМ в терминах красного смещения и проанализировать вклад отдельных членов на разных этапах эволюции Вселенной.

11. Построить эффективный одномерный потенциал (см. задачу \ref{V(a)} раздела 3), соответствующий параметрам СКМ.

12. Во Вселенной, описываемой СКМ, зарегистрированы фотоны с $z = 0.1,1,100,1000$. Каков возраст Вселенной $t_U$ в момент испускания фотонов? Сколько времени $t_{ph}$ фотоны были в пути? Построить графики $t_U\left(z\right)$ и $t_{ph}\left(z\right)$.

13. В расширяющейся плоской Вселенной, описываемой СКМ, определить физическое расстояние до объекта, излучившего свет с красным смещением $z.$

14. Найти зависимость от времени масштабного фактора для СКМ и исследовать асимптотики этой зависимости.

15. Найти возраст Вселенной, соответствующий параметрам СКМ.

16. Дать качественное объяснение, почему возраст Вселенной в СКМ существенно больше возраста Вселенной, в которой доминирует материя (модель Эйнштейна - де Ситтера).

17. Пусть свет испускается в момент времени $t$ и регистрируется в момент времени $t_0$ с красным смещением $z.$ Найти время испускания $t(z)$ как функцию красного смещения. Построить график этой функции.

18. Какова будет относительная плотность тёмной энергии через миллиард лет?

19. Найти скорость изменения относительной плотности тёмной энергии в СКМ. Каковы асимптотические значения этой величины? Постройте график.

20. Оценить размер космологического горизонта для СКМ.