Динамика Вселенной в модели Большого взрыва
1. На стене сидит паучок. В месте нахождения паучка к стене прикреплён эластичный шнур длиной 1 метр, второй конец которого зажат в руке человека. Человек начинает идти от стены со скоростью 1 м/с. В этот же момент паучок начинает бежать по шнуру со скоростью 
1 см/с. Догонит ли паучок человека?
2. На каких основных наблюдениях базируется модель Большого взрыва?
3. Оценить верхнюю границу вклада в первое уравнение Фридмана члена с кривизной в электрослабую эпоху и эпоху ядерного синтеза.
4. Получить зависимость 
и 
для плоской Вселенной, состоящей только из:
а) излучения;
б) материи.
а) излучения;
б) материи.
5.
Показать, что в ранней Вселенной в уравнении Фридмана можно пренебречь членом, пропорциональным кривизне.
6.
Рассмотрим две Вселенные. Одна заполнена излучением, вторая --- нерелятивистской материей. Текущая плотность энергии в обоих случаях одинакова. Сравнить плотности энергии, когда обе Вселенные станут вдвое старше.
7. Если пространство расширяется, означает ли это, что все в нем растягивается? Галактики? Атомы? Поверхностный ответ на этот вопрос: 'связанные' системы не принимают участие в расширении. Но если пространство растягивается, как могут эти системы не подвергаться, по крайней мере, минимальному растяжению? Должны ли связанные системы расширяться менее интенсивно? Должны ли слабо связанные системы растягиваться сильнее? В ряде следующих ниже задач попробуем прояснить ситуацию с помощью простой модели -- классического атома, состоящего из отрицательно заряженного электрона с пренебрежимо малой массой, вращающегося вокруг положительно заряженного тяжёлого ядра. Разместим классический атом в однородной Вселенной, расширение которой описывается масштабным фактором $a(t).$
Для описания атома мы будем использовать два набора пространственных координат. Оба набора - сферические координаты с началом в ядре. Первый набор состоит из физических координат $R,\theta,\varphi,$ где $R$ - расстояние от ядра до электрона в данный момент времени. Второй набор $r,\theta,\varphi,$ - сопутствующие координаты - фиксированные точки, принимающие участие в космологическом расширении. Два набора связаны соотношением
$$R = a(t)r.$$
Угловые координаты одинаковы для двух наборов, так как мы предполагаем, что космологическое расширение радиально.
Как в терминах физических и сопутствующих координат ответить на вопрос, принимает ли атом участие в космологическом (хаббловском) расширении?
8. Получить уравнение движения для электрона в атоме с учётом космологического расширения.
9. Для случая экспоненциального расширения $a(t) = e^{\beta t}$ построить эффективный потенциал электрона в атоме и с его помощью проанализировать динамику электрона для случая ${L^2} = C$, где $C - $ постоянная электростатического взаимодействия.
10. Почему не расширяется Солнечная система, если расширяется вся Вселенная? Привести количественные аргументы.
11. В плоской Вселенной, состоящей из материи и излучения, найти зависимость от времени для масштабного фактора и плотности каждой из компонент в случае доминирования одной из компонент. Представить результаты графически.
12. Для плоской Вселенной, состоящей только из материи и излучения, получить точные решения уравнений Фридмана. Построить графики временной зависимости для масштабного фактора и обеих плотностей.
13. Представить первое уравнение Фридмана в терминах красного смещения и проанализировать вклад отдельных членов в различные космологические эпохи.
14. Получить зависимость $ a(t)$ для плоской Вселенной, состоящей только из материи с уравнением состояния $p=w\rho,$ предполагая, что втечение всей эволюции параметр $w$ не зависит от времени.
15. Используя первое уравнение Фридмана, построить эффективный потенциал $V(a)$, управляющий одномерным движением фиктивной частицы с координатой $a.$
16. Построить эффективный одномерный потенциал $V(a)$ (используя обозначения предыдущей задачи) для Вселенной, состоящей из нерелятивистской материи и излучения. Покажите, что в таком потенциале расширение может быть только замедленным.
17. Получить зависимость параметра Хаббла от времени для плоской Вселенной, в которой доминирует либо материя, либо излучение.
18. Найти зависимость параметра Хаббла от времени для плоской Вселенной, заполненной субстанцией с уравнением состояния $p=w\rho,$ предполагая, что в течение всей эволюции параметр $w$ не зависит от времени.
19. Найти критическую плотность расширения Вселенной из выражения для второй космической скорости $ v=\sqrt{2gR}.$
20. В какой момент после рождения Вселенной плотность материи впервые превзошла плотность излучения?
