Наблюдательная космология
1. Найти отношение освещенностей поверхности Земли Солнцем и остальными источниками света во Вселенной (количественное разрешение парадокса Ольберса).
2. Некоторый светящийся объект имеет видимую звездную величину 
, а абсолютную 
. Найти расстояние до него.
3. Благодаря случайному совпадению бальмеровские линии однократно ионизированного атома гелия от далекой звезды перекрываются с бальмеровскими линиями водорода в Солнце. Насколько быстро эта звезда удаляется от нас?
4.
Угловой размер эллиптической галактики $d = 3^m$, а некоторая линия поглощения водорода в ее спектре имеет длину волны $\lambda = 4866$
и ширину $\sigma = 3$. Оценить массу галактики, если лабораторная длина волны этой линии равна $\lambda = 4861$
.
5.
Газовое облако вращается вокруг сверхмассивной черной дыры $M = 3.6\cdot10^{6} M_\odot$ (одна из возможных интерпретаций недавних наблюдений). Предполагая, что расстояние между этими объектами порядка $60$, световых лет, оценить величину ожидаемого доплеровского смещения.
6. В расширяющейся плоской Вселенной определить физическое расстояние до объекта, излучившего свет с красным смещением $z$.
7. Найти сопутствующее расстояние до наблюдаемой в настоящее время галактики, как функцию красного смещения.
8. Решить предыдущую задачу для плоской Вселенной, в которой доминирует нерелятивистская материя.
9. В расширяющейся плоской Вселенной определить скорость удаления объекта, излучившего свет с красным смещением $z$, вызванную космологическим расширением.
10. Во Вселенной, состоящей только из нерелятивистской материи, найти зависимости параметра Хаббла $H$ от красного смещения.
11. Во Вселенной, состоящей только из нерелятивистской материи, найти зависимости относительной плотности от красного смещения.
12. Построить схему определения знака ускорения масштабного фактора, базирующуюся на измерении характеристик вспышек сверхновых.
13. Показать, что скорость изменения красного смещения для света, испущенного в момент времени $t$ и регистрируемого в настоящее время $t_0 $, определяется соотношением
$$
\dot z \equiv {dz\over dt_0} = H (t_0) (1 + z) - H(t).
$$
14. В плоской однокомпонентной Вселенной с уравнением состояния $p= w\rho$ в момент времени $t_0$ регистрируется излучение с красным смещением $z$. Для каких значений параметра $w$ производная $dz/dt_0 > 0$? Поясните физический смысл этого результата.
15. В космологии кроме физического используются и другие типы расстояний. Одно из часто используемых -- фотометрическое расстояние $d_{L}$ -- определяется так, чтобы видимая светимость объекта была связана с его абсолютной светимостью обычным соотоношением: $$ l = {L\over 4\pi d_{L}^2 }, $$ где $l$ -- кажущаяся светимость, $L$ -- абсолютная светимость. Расстояние, определенное через угловые размеры объекта, называется расстоянием по угловому диаметру: $$ \vartheta = {\delta\over d_{A}}, $$ где $\vartheta$ -- угол, под которым наблюдается объект, $\delta$ -- его физический размер.
Выразить фотометрическое расстояние в терминах красного смещения регистрируемого излучения.
Выразить фотометрическое расстояние в терминах красного смещения регистрируемого излучения.
16. Показать, что для $z \ll 1$ в первом порядке по $z$ имеет место соотношение $d_L \sim z H_0^{-1}$.
17. Найти второй порядок разложения $d_L$ по $z$ для $z \ll 1$.
18. Красное смещение для некоторого источника излучения равно $z = 0.05$. Оценить расстояние до этого объекта.
19. Выразить параметр Хаббла $H(z)$ в терминах $d_L$.
20. Выразить в терминах $H(z)$ расстояние по угловому диаметру $d_A(z)$.
