Термодинамика Вселенной
21. Доказать эквивалентность результатов, полученных в двух предыдущих задачах.
22. По какому закону на ранних этапах эволюции Вселенной температура зависела от времени?
23. Определить плотность энергии в планковское время.
24. Показать, что в планковское время плотность энергии Вселенной соответствовала $10^{77}$ протонных масс в объёме одного протона.
25. Какая была температура в радиационно-доминирующей Вселенной в планковское время?
26. Определить возраст Вселенной, когда ее температура была $1\,MeV$.
27. В первых циклических ускорителях - циклотронах - частицы ускорялись до энергий порядка $1\,MeV$. В следующем поколении ускорителей - беватронах - энергия повысилась до $1\,GeV$. В ускорителе последнего поколения - LHC - протоны ускоряются до $1\,GeV$. Какие времена в истории Вселенной позволяют исследовать эти энергии?
28. Показать, что для периода, когда плотность энергии во Вселенной обусловлена ультрарелятивистским веществом и эффективное число внутренних степеней свободы не изменяется, $\dot T/T \propto - T^2 $.
29. Найти зависимость температуры излучения в расширяющейся Вселенной от красного смещения.
30. Найти зависимость температуры свободного нерелятивистского газа в расширяющейся Вселенной от красного смещения.
31. Оценить время начала рекомбинации - перехода от ионизированной плазмы к газу нейтральных атомов и соответствующее красное смещение. Температура рекомбинации $T_{rec} \approx 0.3\,eV.$
32. Найти отношение теплоемкостей материи, представляющей одноатомный газ, и излучения.
33. Расширение Вселенной имеет тенденцию нарушать тепловое равновесие между излучением $(T \propto {a^{ - 1}})$ и газом нерелятивистских частиц $(T \propto {a^{ - 2}}).$ Какая из этих компонент определяет температуру Вселенной?
34. Показать, что в нерелятивистском пределе $\left( kT \ll m \right),\;p \ll \rho .$
35. Найти плотность энтропии фотонного газа.
36. Используйте результат предыдущей задачи для альтернативного доказательства того, что в адиабатически расширяющейся Вселенной $aT = const.$
37. Найти показатель адиабаты для газа фотонов в расширяющейся Вселенной.
38. Показать, что отношение плотности энтропии МКФ к плотности числа барионов $(s_{\gamma}/n_b)$ остаётся постоянным в процессе расширения Вселенной.
39. Определить температуру рекомбинации по уравнению Саха в предположении, что последнее рассеяние произошло при $10\,\%-$ й ионизации водорода.
40. Сколько итераций в уравнении Саха нужно провести, чтобы получить температуру рекомбинации с точностью до $1K.$ Записать приближенный ответ аналитически.
