1. Найти  энтропию квантовой системы $N$ спинов величины $1/2$.

2.  Показать, что плотность информации на голографическом экране ограничено величиной $\sim 10^{69} \: \mbox{Bit/m}^2.$

3. Выбрав в качестве голографического экрана хаббловскую сферу, найти ее площадь в модели де Ситтера (Напомним, что в такой модели динамика Вселенной определяется космологической постоянной $\Lambda >0$).

4. Найти изменение площади голографического экрана при пересечении его частицей со спином $1/2.$

5. Каково изменение энтропии, соответствующее процессу, описанному в предыдущей задаче?

6. Согласно Хокингу, чёрные дыры испускают фотоны (испарение чёрных дыр), с равновесным спектром, соответствующим эффективной температуре $$ T_{BH}=\frac{\hbar c}{4\pi k_{_B}}r_{g}, $$ где $r_{g}=\frac{2GM}{c^2}$ - радиус чёрной дыры. Пренебрегая аккрецией и поглощением МКФ, определить время жизни чёрной дыры с начальной массой $M_{0}.$ Вычислить время жизни для чёрных дыр с массой, равной: планковской массе, массе Земли, массе Солнца.

7. Показать, что процесс 'испарения' чёрной дыры сопровождается увеличением ее температуры. Найти относительное изменение температуры чёрной дыры, если за счет испарения ее масса уменьшилась вдвое. 

8. Показать, что для возникновения энтропийной силы при приближении частицы к голографическому экрану температура экрана должна быть конечной. 

9. Определить энтропийное ускорение частицы, пересекающей голографический экран с температурой ${{T}_{b}}$ 

10. Показать, что температура Унру совпадает с температурой излучения Хокинга $$T_{BH}=\frac{\hbar c^3}{8\pi k_{_B}GM}$$ при замене $a\to g,$ где $g$ ускорение свободного падения на горизонте событий чёрной дыры массы $M.$

11. Для экспериментальной проверки эффекта Унру планируется достигнуть ускорения частиц $10^{26} m/c^2?$ Какой температуре вакуума соответствует такое ускорение?

12. Вывести второй закон Ньютона из голографического принципа.

13.  Показать, что закон инерции может быть получен из голографического принципа.

14. Сравните "близость" к чёрной дыре Земли, Солнца и видимой Вселенной.

15. Оценить температуру хаббловской сферы, рассматривая ее как голографический экран.

16. Показать что равновесие между реликтовым излучением и голографическим экраном возможно только при планковской температуре.

17. Согласно голографической идеологии все физические явления могут быть описаны теорией граничного слоя. Таким образом, напрашивается вывод о необходимости учёта вклада этих поверхностных слагаемых при выводе уравнений ОТО. Показать, что рассмотрение граничных членов в действии Эйнштейна-Гильберта эквивалентно введению в стандартные уравнения Эйнштейна ненулевого тензора энергии-импульса.

18. Вывести уравнения Фридмана из голографического принципа.

19. Вывести уравнения Фридмана из голографического принципа для неплоской Вселенной.

20. Оценить плотность тёмной энергии, предполагая, что полная энергия в области с линейным размером $L$ не может превышать массы чёрной дыры того же размера.