Темная материя

1. Проанализировать задачу о движении малой галактики-спутника в гравитационном поле крупной галактики (Проблема неубывающего поведения вращательных кривых).
2.  
Какой зависимости от радиуса плотности сферически симметричного галактического гало тёмной материи отвечает
постоянство скоростей галактик-спутников?
3. С помощью теоремы вириала выразить массу скопления галактик через наблюдаемые величины – среднюю скорость галактик скопления и его размер. Оценить массу скопления Кома (Волосы Вероники) для $R \approx 10^{23} \mbox{m},\left\langle {v^2 } \right\rangle ^{1/2}  \approx 2 \times 10^6 \mbox{ m/s} $
4. Показать, что  возраст Вселенной, в которой доминирует материя, противоречит наблюдениям.
5. Галактика имеет видимую массу $10^{11} M_ \odot$ и горизонтальную вращательную кривую вплоть до расстояния $30\mbox{ kpc}$ при скорости $250\mbox{ km/s}$. Каково отношение тёмной материи к видимой в этой галактике?
6. Показать, что сохранение теплового равновесия для определённой компоненты в расширяющейся Вселенной возможно только при выполнении условия $\Gamma\gg H$, где $\Gamma$ -- скорость реакции, необходимой для поддержания равновесия.
7. Найти нижнюю границу для массы частиц тёмной материи в том случае, если они являются:
  1. бозонами;
  2. фермионами.
8. Найти нижнюю границу массы фермиевских частиц, образующих компактный сферический объект тёмной материи радиуса $R$ и полной массы $M$.
9. Показать, что частицы, образующие галактику массы $M = 10^{10} M_ \odot $ радиуса $R = 30\mbox{\it кпс}$, должны быть нерелятивистскими.
10. Предполагая, что нейтрино обладают массой $m_\nu$ и температурой последнего рассеяния $T_D \cong 1\; MeV$, определить их вклад в наблюдаемую сегодня плотность энергии.
11. Показать, что при высоких температурах $T \gg m_\chi $ ($m_\chi $ -- масса WIMP) отношение равновесных плотностей WIMP и фотонов $n_\chi ^{eq} /n_\gamma ^{eq} = const$.
12. Показать, что из уравнения Больцмана, описывающего эволюцию плотности числа WIMP $n_\chi$, при взаимодействиях, сохраняющих число частиц, следует обычное соотношение для нерелятивистской материи $n_\chi\propto a^{ - 3} $.
13. Показать, что в ранней Вселенной для $T \ge m_\chi $ плотность числа WIMP при уменьшении температуры отслеживает своё равновесное значение.
14. При какой температуре происходит замерзание плотности нейтрино?
15. Рассматривая WIMP как тепловые реликты ранней Вселенной, оценить их текущую плотность.
16. Оценить локальную плотность тёмного гало в окрестности Земли, предполагая, что плотность гало спадает по закону $\rho_g=C/r^2.$
17. Построить модель сферически симметричной плотности гало тёмной материи, соответствующую наблюдаемым галактическим вращательным кривым.
18. В рамках модели гало, рассмотренной в предыдущей задаче, определить локальную плотность тёмной материи $\rho _0 $ по известным скоростям вращения галактики-спутника на внешней границе гало $v_\infty \equiv v(r \to \infty )$ и в некоторой точке $r_0 $.
19. Для рассмотренной в задаче \ref{11_14} модели гало получить зависимости $\rho \left( r \right)$ и $v(r)$ в терминах $r_c $ и $v_\infty $. Построить графики зависимости $\rho( r )$ и $v(r)$ для этой модели.
20. Многие скопления являются источником рентгеновского излучения. Оно испускается горячим межгалактическим газом, заполняющим объем скопления. Предполагая, что горячий газ $(kT\approx 10 keV)$ в скоплении находится в состоянии равновесия, линейный размер которого $R=2.5\;Mpc$, а радиус кора $r_c =0.25\;Mpc $, оценить массу скопления.
1 2