21. Используя действие для свободного скалярного поля, минимальным образом связанного с гравитацией, $$S_\varphi = \int {d^4 x\sqrt { - g} \left( {\frac{1}{2}g^{\mu \nu } \partial _\mu \varphi \partial _\nu \varphi } \right)}$$ получить действие для этого поля в FRW метрике.

22. Используя действие, полученное в предыдущей задаче получить уравнение эволюции скалярного поля в расширяющейся Вселенной.

23. Вычислить плотность и давление однородного скалярного поля $\varphi (t)$ в потенциале $V(\varphi)$ в FRW метрике.

24. Исходя из действия для скалярного поля вида $$S = \int {d^4 x\sqrt { - g} \left[ {{1 \over 2}(\nabla \varphi )^2 - V(\varphi )} \right]}$$ получить уравнение движения этого поля в случае FRW метрики.

25. Построить функцию Лагранжа, описывающую динамику Вселенной заполненной скалярным полем в потенциале $V(\varphi).$ Используя эту функцию, получить уравнения Фридмана и уравнение Клейна-Гордона.

26. Получить уравнение движения для однородного скалярного поля $\varphi (t)$ в потенциале $V(\varphi )$, исходя из уравнения сохранения $$\displaystyle\dot \rho _\varphi + 3\frac{{\dot a}}{a}\left( {\rho _\varphi + p_\varphi } \right) = 0$$

27. Показать, что уравнение Клейна-Гордона может быть представлено в (безразмерной) форме $$ \varphi '' + \left( {2 - q} \right)\varphi ' = \chi ;\quad \chi \equiv - {1 \over {H^2 }}{{dV} \over {d\varphi }} $$ где штрих означает производную по $\ln a$, а $q = - {{a\ddot a} \over {\dot a^2 }}$ - параметр замедления.

28. Представить уравнение движения скалярного поля в виде где $$\pm \frac{V_{,\varphi}}{V} = \sqrt {\frac{3(1 + w)}{\Omega _\varphi(a)}} \left[ 1 + \frac{1}{6}\frac{d\ln \left( x_{\varphi} \right)}{d\ln a} \right],$$ $$ x_{\varphi}=\frac{1+w_{\varphi}}{1-w_{\varphi}}, ~w_{\varphi}=\frac{\dot{\varphi}^2+2V(\varphi)}{\dot{\varphi}^2-2V(\varphi)}, $$ в системе единиц, в которой $8\pi G=1.$

29. В уравнении для скалярного поля член $3H\dot \varphi $ формально играет роль трения. Однако, он не приводит к диссипации энергии. Покажите это.

30. Получить в конформном времени систему уравнений, описывающую динамику скалярного поля в расширяющейся Вселенной, содержащей излучение и материю.

31. Вычислить давление однородного скалярного поля в потенциале $V\left( \varphi \right)$, используя полученные выше плотность энергии поля и его уравнение движения.

32. Какому условию должно удовлетворять однородное скалярное поле $\varphi (t)$ в потенциале $V(\varphi )$, чтобы обеспечить ускоренное расширение Вселенной.

33. Какими соображениями руководствовался А. Гус, когда назвал теорию, описывающую динамику ранней Вселенной, ''теорией инфляции''?

34. Получить уравнение движения для однородного скалярного поля $\varphi (t)$ в потенциале $V(\varphi )$, используя аналогию с ньютоновской механикой.

35. Для Вселенной заполненной квинтэссенцией, выразить $V(\varphi)$ и $\varphi$ в терминах параметра Хаббла $H$ и его производной $\dot{H}.$

36. Показать, что уравнения Фридмана для скалярного поля $\varphi (t)$ в потенциале $V\left( \varphi\right)$ могут быть представлены в виде $$ \begin{array}{l} \displaystyle H^2 = \frac{{8\pi G}}{3}\left( {\frac{1}{2}\dot \varphi ^2 + V(\varphi )} \right), \\ \displaystyle \dot H = - 4\pi G\dot \varphi ^2.\\ \end{array} $$

37. При условии, что скалярное поле $\varphi (t)$ есть однозначная функция времени, преобразовать уравнение второго порядка для скалярного поля в систему уравнений первого порядка.

38. Выразить уравнения для скалярного поля в терминах конформного времени.

39. Показать, что условие $\dot H > 0$ не может быть реализовано для скалярного поля с положительно определённой кинетической энергией.

40. Инфляцию определяют как любую эпоху, для которой масштабный фактор Вселенной растет ускоренно, т.е. $\ddot a > 0$. Показать, что это условие эквивалентно условию уменьшения сопутствующего хаббловского радиуса со временем.