Темная энергия
1.
Показать, что $\Lambda$ - член, введённый Эйнштейном (1917) $$R_{\mu\nu}- \frac 1 2 R g_{\mu\nu} - \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}$$ является константой (космологическая постоянная): $\partial_{\mu} \Lambda = 0$ .
2. Получить уравнения Эйнштейна при наличии космологической постоянной варьированием действия для гравитационного поля с дополнительным членом $$ S_\Lambda = - \frac{\Lambda }{{8\pi G}}\int {\sqrt { - g} d^4 x} $$ введение которого не запрещено требованиями релятивистской инвариантности.
3.
Получить уравнения Фридмана при наличии космологической постоянной.
4.
Найти естественные масштабы длины и времени, связанные с введением в ОТО космологической постоянной.
5.
Показать, что из принципа относительности следует уравнение состояния $p =-\rho $ для тёмной энергии в форме космологической постоянной, если ее трактовать как энергию вакуума.
6.
Показать, что уравнение состояния для космологической постоянной $p = - \rho $ обеспечивает лоренц-инвариантность тензора энергии-импульса вакуума.
7.
Показать, что уравнение состояния $p = - \rho $ инвариантно относительно преобразований Лоренца.
8. Выполняется ли при наличии тёмной энергии в форме космологической постоянной закон сохранения энергии?
9. Показать, что, приписывая вакууму энергию, мы не возрождаем понятие ''эфира'', т.е. мы не нарушаем принцип относительности, или, другими словами, не вводим понятия абсолютного покоя и движения относительно вакуума.
10. Получить аналог уравнения сохранения $\dot \rho + 3H(\rho + p) = 0$
для случая, когда гравитационная постоянная $G$ и космологическая постоянная $\Lambda $
зависят от времени.
11. Оценить верхний предел для космологической постоянной. Каким физическим условием определяется ее нижний предел?
12. Предположим, что плотность тёмной энергии в форме космологической постоянной равна текущей критической плотности $\rho _\Lambda = \rho _{cr}. $Чему в этом случае равна величина тёмной энергии в солнечной системе? Сравните эту величину с $M_ \odot c^2. $
13. Зная возраст старейших объектов во Вселенной определить нижнюю границу плотности физического вакуума.
14. Найти значение красного смещения, при котором в плоской Вселенной, в которой доминирует космологическая постоянная, у источника линейного размера $d$ наблюдается минимальный видимый угловой размер.
15. Найти статическое решение уравнений Фридмана с космологической постоянной (статическая Вселенная Эйнштейна).
16. Показать, что статическая Вселенная Эйнштейна должна быть замкнутой. Найти объем и массу такой Вселенной.
17. Оценить радиус статической Вселенной Эйнштейна, если нулевые колебания поля излучения обрезать на расстояниях, соответствующих классическому радиусу электрона.
18. Проанализировать статическую модель Вселенной Эйнштейна и показать ее неустойчивость.
19. В плоской Вселенной, заполненной нерелятивистской материей и тёмной энергией в форме космологической постоянной, построить эффективный одномерный потенциал $V(a)$.
20. Показать, что статическая Вселенная Эйнштейна может быть реализована только в максимуме эффективного потенциала $V(a)$ (см. предыдущую задачу).
