Продолжаем сравнительный анализ двух теорий, претендующих на роль теорий квантовой гравитации. В этой заметки мы подробнее остановимся на достижениях, петлевой квантовой гравитации. Статья изобилует специфической терминологией, как что если у читателей возникнут какие-то вопросы, помогу, чем смогу. Перед прочтением крайне рекомендуется изучить подборку статей по квантовой гравитации, которая расположена на нашем сайте.

Для большей точности оказывается необходимым разделять две формы петлевой квантовой гравитации, которые я называю версиями I и II.

Постулаты петлевой квантовой гравитации I

То, что я буду подразумевать под петлевой квантовой гравитацией версии I, представляет собой теорию, являющуюся квантованием уравнений Эйнштейна, связанных с произвольными полями материи, в пространстве размерности $3 + 1.$

1. Квантовая теория гравитации есть квантование ОТО или некоторого обобщения ее, включающего поля материи, такой как супергравитация. Квантование выполняется с использованием стандартного непертурбативного гамильтониана и метода интеграла по путям, применяемого к фазовому пространству с координатами в терминах альтернативного множества переменных. Конфигурационные переменные представляют собой компоненты пространственно- временной связности, так что ОТО в определенном точном смысле выражается в терминах калибровочной теории.
2. Квантование должно быть выполнено таким способом, чтобы сохранить независимость от фона, присущую ОТО, и, следовательно, точно реализовать диффеоморфную инвариантность.

В петлевой квантовой гравитации I единственной нединамической структурой является трехмерное многообразие $\mathbb{E}$ с заданной топологией и дифференциальной структурой. В $\mathbb{E}$ нет классических полей, таких как метрики, связности или поля материи. Единственное исключение существует при моделировании квантования пространственно-временной области с границами, такой как в асимптотически плоском контексте $AdS,$ или в присутствие черной дыры или космологического горизонта. В этом случае поля могут быть фиксированы на границе $\partial\mathbb{E}$ для того, чтобы представить физические условия, поддерживаемые там фиксированными.

Основные результаты петлевой квантовой гравитации I

1. Состояния теории известны точно. Гильбертово пространство $\mathcal{H}^{dffeo}$ пространственно диффеоморфно инвариантных состояний ОТО в размерности $3+1$ имеет ортонормированный базис, элементы которого находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности относительно диффеоморфизмов вложжений (речь идет о вложении графов в базовое многообразие $\mathbb{E}$) определенных помеченных графов, называемых спиновыми сетями в $\mathbb{E}.$
   Помеченный граф есть граф, у которого ребра и узлы связаны с элементами определенного множества меток. В случае чистой ОТО с исчезающей космологической постоянной, метки на ребрах даются обычными $SU(2)$ спинами. Существуют также метки на узлах спиновой сети, которые являются инвариантами теории представлений $SU(2).$
2. Построены определенные диффеоморфно-инвариантные наблюдаемые. После соответствующей регуляризации они оказываются представлены конечными операторами на $\mathcal{H}^{dffeo}$ — пространстве состояний спиновых сетей. Они включают объем вселенной, область границы вселенной или любые поверхности, определяемые значениями полей материи. Могут быть построены и другие операторы, например, операторы, измеряющие углы в квантовой геометрии. Все эти операторы сохраняют диффеоморфную инвариантность состояний.
3. Операторы площади и объема имеют дискретные, конечные спектры, выраженные в терминах планковской длины. Следовательно, существует наименьший возможный объем и наименьшая возможная площадь, порядка планковского объема и площади. Спектры [объёма и площади] могут быть вычислены в замкнутом виде.
4. Операторы площади и объема могут быть распространены до истинных физических наблюдаемых, которые своей калибровкой фиксируют калибровку времени так, что по крайней мере локальное время может быть измерено физическими полями. Для таких физических наблюдаемых сохраняется дискретный спектр, следовательно спектры площади и объема означают настоящие физические предсказания квантовой теории гравитации.
5. Из-за существования минимальных физического объема и площади теория не имеет возбуждений, которые соответствуют степеням свободы гравитации или материи с длиной волны короче планковской длины.
6. Среди операторов, которые были построены и для которых было найдено, что они конечны на $\mathcal{H}^{dffeo},$ существует Гамильтонова связь (или, как она часто называется, уравнение Уилера - де Витта). Тогда уравнение Уилера – де Витта не только может быть точно определено, но оно может быть и точно решено. Для всех значений космологической постоянной было построено несколько бесконечных множеств решений в виде определенных суперпозиций базисных состояний спиновых сетей. Они являются точными физическими состояниями квантовой ОТО.
   Если зафиксировать физическую временную координату в терминах некоторых физических полей, то можно также определить и гамильтониан, задающий эволюцию относительно этой физической координаты времени, и это дает также конечный оператор [Гамильтона] на подходящем расширении $\mathcal{H}^{dffeo},$ включающем поля материи.
7. 7. Динамика состояний спиновой сети может быть выражена также в формализме интеграла по путям, называемом спиновой пеной. Истории, в соответствие с которыми состояния спиновой сети эволюционируют к другим состояниям спиновой сети, называемые историями спиновой пены, известны явно. Истории в виде спиновой пены есть меченные комбинаторные структуры, которые могут быть описаны как ветвления, помечаемые двумя комплексными числами. Модели спиновой пены были выведены несколькими различными путями, и результаты согласуются с точностью до общей формы амплитуды спиновой пены.
   Они [разные пути] включают: 1) вычисление экспоненты от гамильтоновой связи; 2) прямой путь на основе дискретной аппроксимации классической теории пространства- времени; 3) с помощью ограничения суммирований в формулировке с вычислением конечных сумм по состояниям четырехмерного топологического инварианта, 4) из матричной модели на пространстве полей на группе, 5) с помощью постулирования, что пространственно-временные события есть локальные движения в спиновой сети. Эволюция амплитуд, соответствующая квантованию уравнений Эйнштейна в 3 + 1 измерении, точно известна и для исчезающего, и для неисчезающего значения космологической постоянной, и как для евклидовой, так и для лоренцевой теорий.
   Сумма по спиновым пенам состоит из двух частей: суммы по графам, представляющим истории спиновых сетей и, для каждого графа, сумму по меткам. Как из аналитических, так и из численных расчетов известно, что сумма по всем меткам для некоторых моделей спиновой пены сходится, включая некоторые модели, соответствующие квантованию уравнений Эйнштейна в 2 + 1 и 3 + 1 измерениях. Для некоторых моделей спиновой пены размерности 2 + 1 было показано, что сумма по историям спиновой пены вычислима по Борелю.
   Физическое скалярное произведение, которое представляет собой скалярное произведение на решениях для любых [гамильтоновых] связей, имеет точное выражение, данное в терминах моделей спиновой пены.
8. И к гамильтоновой формулировке, и к формулировке спиновой пены может быть добавлена материя. Для гамильтоновой формулировки известно, как расширить определение состояний, инвариантных относительно пространственных диффеоморфизмов, чтобы включить все стандартные типы полей материи, включая калибровочные поля, спиноры, скаляры и поля Кэлба-Рамонда. Эти состояния также инвариантны относительно обычных Янг-Миллсовских или Кэлб-Рамоновских калибровочных преобразований. Форма членов для полей материи в гамильто- новых связях точно известна. Модели спиновой пены расширены до включения калибровочных и спинорных степеней свободы (Насколько мне известно, вопрос о том, страдает ли петлевая квантовая гравитация от проблемы фермионного удвоения, открыт.). Включение полей материи не влияет на конечность и дискретность наблюдаемых площади и объема.
9. Модели спиновой пены, соответствующие лоренцевой квантовой гравитации, называемые каузальной спиновой пеной, имеют квантовые аналоги для всех базовых структур пространства-времени ОТО. Они включают динамически генерируемые каузальные структуры, световые конусы и аналоги мультивариантного времени, которое представляет собой свободу многими разными способами представить пространство-время в виде последовательности пространственно-подобных срезов. Пространственно-подобные срезы есть спиновые сети, которые являются квантовыми аналогами пространственных геометрий.
10. В теорию могут быть включены несколько типов границ, включая времениподобные границы в присутствие как положительной, так и отрицательной космологической постоянной, и нулевые границы, такие как черные дыры и космологические горизонт. Во всех этих случаях граничные состояния и наблюдаемые понимаются в терминах структур, выводимых из теории Черна-Симона.
11. 11. Граничные гильбертовы пространства раскладываются в собственные пространства, по одному для каждого собственного значения оператора, который измеряет площадь границы. Для каждого собственного значения площади гильбертово пространство конечномерно. Энтропия может быть вычислена, и точно согласуется с полуклассическим результатом Бекенштейна-Хокинга, $$ S = \frac{A[S] }{ 4 \hbar G_{Newton}}~~~~~~~~~~~~~~(3)$$ Среди границ, которые могут быть изучены, присутствуют горизонты. Теория границы тогда дает детальное микроскопическое описание физики на границе. Более того, предсказание Бекенштейна и Хокинга, что горизонт должен обладать энтропией (3), полностью объясняется в терминах статистической механики пространства состояний, ассоциированного со степенями свободы на горизонте. Было обнаружено, что это работает для широкого класса черных дыр, включая шварцишильдовские черные дыры.
    Вычисления энтропии включают параметр, который называется параметром Аймирзи (Imirzi). Он может быть понят либо как свободный параметр, который помечает одномерное семейство представлений спиновой сети, либо как (конечное) отношение затравочной к перенормированной ньютоновской константе. Параметр Аймирзи точно фиксируется аргументом, найденным Дрейером (Dreyer), связанным с квазинормальными модами черных. Аргумент Дрейер зависит от замечательно точного совпадения между асимптотическим значением квазинормальной частоты и числом, которое появляется в описании горизонта петлевой квантовой гравитацией. Значение частоты асимптотической квазинормальной моды было сначала известно только численно, но очень недавно было выведено аналитически Мотлом. Как только аргумент Дрейер фиксирует параметр Аймерзи, соотношение Бекенштейна-Хокинга (3) предсказывается точно для всех черных дыр и космологических горизонтов

12. Были вычислены поправки к энтропии Бекенштейна, и было обнаружено, что они логарифмические.
13. Соответствующие приближенные вычисления воспроизводят спектр Хокинга и предсказывают в нем дискретную тонкую структуру. В то же время, спектр становится непрерывным в пределе бесконечной массы черной дыры. Эта тонкая структура является дополнительным определенным физическим предсказанием теории.
    Таким образом, суммируя, петлевая квантовая гравитация ведет к детальной микроскопической картине квантовой геометрии черной дыры или космологического горизонта. Эта картина полностью воспроизводит и объясняет результаты, касающиеся термодинамических и квантовых свойств горизонтов из работ Бекенштейна, Хокинга, и Унру. Эта картина совершенно общая и приложима ко всем черным дырам и космологическим горизонтам.
14. Для случая неисчезающей космологической постоянной любого знака существует точное физическое состояние, называемое состоянием Кодама, которое есть точное решение всех уравнений квантовых связей, для которых существует классический предел. Этот предел описывает поространство-время де-Ситтера или анти-де-Ситтера. Решения, получаемые возмущением этого состояния и в гравитационном поле, и в полях материи, воспроизводят, при больших длинах волн, квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени и квантовую теорию свободных гравитационных волн большой длины в де-Ситтеровском или анти-де-Ситтеровском пространстве-времени. Вычисления Дрейер ведут также к заключению, что переходы там, где имеются проколы, т. е. концы спиновых сетей, добавляются или вычитаются от границы, должны быть доминированы рождением или уничтожением проколов спина 1.
15. Обратная величина космологической постоянной оказывается квантованной, так $$k= 6 \pi / G \Lambda$$ есть целое число.
16. Термическая природа квантовой теории в пространстве де-Ситтера объясняется в терминах периодичности в конфигурационном пространстве точной квантовой теории ОТО.
17. Известен широкий класс состояний, которые при усреднении дают описание, которое воспроизводит геометрию плоского пространства или любую медленно меняющуюся метрику. Линеаризация квантовой теории около таких состояний дает линеаризованную квантовую гравитацию для гравитонов с длиной волны, большой по сравнению с планковским масштабом. Понято также, как сконструировать когерентные состояния, которые имеют пик около классических конфигураций.

18. Известна редукция точного пространства физических состояний к пространственно однородным состояниям а также и редукция динамики к этому подпространству состояний. (Это отличается от обычной квантовой космологии в том, что редукция к гомогенным состояниям осуществляется в гильбертовом пространстве полной теории, а не перед квантованием.) Была в деталях изучена эволюция этих состояний и было найдено в общем, что когда вселенная очень велика в план- ковских единицах, воспроизводится обычная космология Фридмана - Робертсона - Уокера. В то же время космологические сингулярности исчезают, и заменяются переходами, где вселенная либо снова расширяется либо находится в состоянии перед сжатием. Когда включается связь со скалярным полем, существует естественный механизм, который генерирует инфляцию на планковском масштабе так же как и изящный выход из неё.
19. Многие из этих результатов распространяются на квантовую супергравитацию для N = 1 и некоторые были изучены также для $N = 2.$
20. Те же самые методы могут быть также использованы для развития квантовой гравитации в размерности 2 + 1 и во многих редукциях теории к размерности 1 + 1. Они также работают для решения широкого класса топологических теорий поля, давая результаты, аналогичные получаемым другими методами. Далее, петлевые методы, используемые для решеточных калибровочных теорий, дают результаты, аналогичные достигаемым другими методами.
21. И для плоского пространства, и для пространства-времени вблизи пространства де-Ситтера, вычисления, которые воспроизводят квантовую теорию для больших длин волн гравитонов и материи, можно распространить до больших энергий. Эти вычисления обнаруживают присутствие коррекций к соотношению энергии и импульса в форме (2) . $$E^{2} = p^{2}+ M^{2} + \alpha l_{Pl}E^{3}+ \beta l_{Pl}^{2}E^{4} + ...$$ Однако, теперь параметры а и в являются вычислимыми константами, которые зависят от основного состояния волнового функционала. Это представляет собой дальнейшие предсказания теории.
22. Многие из этих результатов были проверены путем вывода с использованием нескольких различных методов, включая различные процедуры регуляризации. Некоторые из них используют уровень строгости физики высоких энергий, в то время как другие методы совершенно строгие, на уровне строгости математической квантовой теории поля. Все ключевые результаты были проверены путем вывода с использованием полностью строгих методов.

На основании этих результатов можно утверждать, что петлевая квантовая гравитация I является корректным квантованием общей относительности и физически приемлемым кандидатом на роль квантовой теории гравитации. Видно, что она дает точный ответ на первые 9 вопросов из моего списка.

Неудача квантовой ОТО как пертурбативной теории объясняется тем, что в петлевом квантовании ОТО нет степеней свободы гравитонов или других пертурбативных квантов с длиной волны меньшей, чем планковский масштаб. Ультрафиолетовые расходимости исчезают благодаря корректному квантованию, точно реализующему пространственную диффеоморфную инвариантность, налагая ультрафиолетовое обрезание на физический спектр теории. Упоминавшиеся выше предположения о гладкости и лоренц-инвариантности пространства-времени на произвольно малых масштабах не используются в процедуре квантования, и фактически, противоречат результатам.

Читатель, натренированный в области пертурбативной квантовой теории поля, может отнестись скептически к этим результатам. В ответ он может указать на две важные вещи. Во-первых, что эти результаты не об общих пертурбативно неперенормируемых теориях. Ключевые результаты и гамильтонова квантования, и квантования с помощью интеграла по путям следуют из двух необходимых свойств, специфических для гравитационных теорий24. Первое есть пространственная диффеоморфная инвариантность. Это приводит к методу квантования, который не работает для обычных Пуанкаре-инвариантных квантовых теорий поля. Он не основан на фоковском пространстве, он основан на определенном представлении алгебры петлевых наблюдаемых Вильсона, которая допускает строгую формулировку теории, включающей точное унитарное представление группы пространственных диффеоморфизмов. В результате из-за требования, что операторы конструируются с помощью процедуры регуляризации, которая сохраняет диффеоморфную инвариантность состояний в пределе, когда регулятор удален, исчезают многие потенциальные расходимости.

Читатель, натренированный в области пертурбативной квантовой теории поля, может отнестись скептически к этим результатам. В ответ он может указать на две важные вещи. Во-первых, что эти результаты не об общих пертурбативно неперенормируемых теориях. Ключевые результаты и гамильтонова квантования, и квантования с помощью интеграла по путям следуют из двух необходимых свойств, специфических для гравитационных теорий. Первое есть пространственная диффеоморфная инвариантность. Это приводит к методу квантования, который не работает для обычных Пуанкаре-инвариантных квантовых теорий поля. Он не основан на фоковском пространстве, он основан на определенном представлении алгебры петлевых наблюдаемых Вильсона, которая допускает строгую формулировку теории, включающей точное унитарное представление группы пространственных диффеоморфизмов.

В результате из-за требования, что операторы конструируются с помощью процедуры регуляризации, которая сохраняет диффеоморфную инвариантность состояний в пределе, когда регулятор удален, исчезают многие потенциальные расходимости. Вторая особенность заключается в том, что действие для многих известных теорий гравитации может быть взято в форме, тесно связанной с некоторым классом топологических теорий поля. Они называются $BF$ теориями из-за того, что действие в них имеет форму $\int Tr B \wedge F .$

Действие в этих теориях гравитации является суммой членов со связью, не дифференцируемой и квадратичной в B. Теории, которые могут быть выражены таким способом, могут быть названы топологическими теориями поля со связями. Они включают ОТО в любом числе измерений и супергравитацию, по меньшей мере в $d = 4$ для $N = 1, 2 $ и в $d =11.$ Комбинация этих двух особенностей делает возможным неожиданные результаты, о которых шла речь. Следует также сказать, что все ключевые результаты в гамильтоновой теории и некоторые в теории с интегрированием по путям поняты полностью строго.

Читатель может сомневаться в том, что мир устроен как квантование ОТО, но нет больше возможности не соглашаться с тем, что этот метод ведет к строго понимаемому классу диффеоморфно инвариантных квантовых теорий поля в четырех измерениях. Имея в виду нетривиальное существование класса квантовых теорий поля, которые реализуют точную диффеоморфную инвариантность, при том, что имеют и локальные степени свободы, трудно поверить, что нет ничего важного, что можно было бы узнать из них о том, как природе удается объединить постулаты квантовой теории с основными постулатами ОТО.

Эти утверждения нетривиальны и зависят от деталей конструкции гильбертова пространства и соответствующих операторов. Дело в том, что из-за того, что эта конструкция существенно отличается от конструкции Пуанкаре-инвариантной локальной квантовой теории поля, отличаются и важные следствия. В этом случае получается ультрафиолетовая конечность, так что обычное беспокойство, касающееся существования и согласованности в пределе, в котором удаляется решеточное пространство, разрешается. Можно беспокоиться о переходе к пределу нулевой планковской длины, аналогичному нулевому пределу шага решетки.

Но это невозможно, так как перенормировка планковской длины фиксирована тем, что она является числом порядка единицы благодаря требованию, чтобы энтропия черной дыры и спектр гравитонов получались правильными. Более того, калибровочная инвариантность и пространственная диффеоморфная инвариантность реализуются точно для конечной $L_{PL}$, так что отсутствует обычная мотивация переходить к ультрафиолетовому пределу для восстановления симметрии. Но, в то время как обычная ультрафиолетовая проблема решена, остаются, тяжелые проблемы касающиеся того, действительно ли и как классическая ОТО доминирует в соответствующим образом определенном низкоэнергетическом пределе. Тот факт, что теория хорошо определена и конечна, не гарантирует, как мы знаем, что низкоэнергетический предел приемлем.

Что касается этих динамических проблем, сейчас имеются обнадеживающие указания [на то, что их решение возможно], но наше понимание низкоэнергетического предела далеко от полноты. Один набор проблем, который был детально изучен, относится к вопросу, совместимо ли действие гамильтоновой связи с низкоэнергетическим пределом, который имеет безмассовые возбуждения. Имеется указание, что определенные переходы, необходимые для корреляций на больших расстояниях и релятивистской инвариантности, отсутствуют в регуляризованной гамильтоновой связи.

Оказывается, причина в том, что использованная процедура регуляризации включает расщепление точек [point splitting] пространственного многообразия $\mathbb{E}$, но не времени. Необходимые члены, однако, присутствуют в формализме спиновой пены как это выводится способами, которые не зависят от 3 + 1-расщепления пространства-времени. Они также появляются в гамильтоновой теории для ненулевой космологической постоянной, так как включение Л налагает квантовую деформацию на гильбертово пространство так, что базисные элементы описываются квантовыми спиновыми сетями, которые автоматически включают пропущенные члены.

Аналогично, в то время как проблема восстановления ОТО в низкоэнергетическом пределе теории не решена для нулевой космологической постоянной, имеется сильное указание на то, что существование состояния Кодама допускает удовлетворительное решение проблемы так, что затравочное значение космологической постоянной является ненулевым.

Петлевая квантовая гравитация II

В то время как петлевая квантовая гравитация I до сих пор выглядела как квантование ОТО и как квантовая теория гравитации, очень может быть, что квантование ОТО фактически не описывает природу. Размерность пространства-времени, физические степени свободы и фундаментальные симметрии могут отличаться от тех, что сейчас наблюдаются. Оказывается, что существует естественный класс моделей, которые обобщают петлевую квантовую гравитацию, которая связана с этими постулатами. Они могут быть названы моделями петлевой квантовой гравитации II.(Иногда используется другое имя для этих моделей — модели сумм категорических состояний, так как они могут быть элегантно сформулированы на языке категорий тензоров.)

Для того, чтобы обсудить их, мы можем заметить, что математический язык состояний, историй, границ и наблюдаемых, который выведен в случае квантовой ОТО, может быть легко обобщен, чтобы получить широкий класс полностью независимых от фона квантовых теорий пространства-времени. Для того, чтобы описать кинематику теории этого типа, нужно только специфицировать алгебру (или супералгебру), представления которой используются для пометки спиновой сети. Графы, на которых основаны спиновые сети, определяются комбинаторно, поэтому устраняется необходимость специфицировать топологию и размерность пространственного многообразия. В такой теории размерность и топология имеют динамический характер, и могут существовать различные состояния, усредненное описание которых напоминает многообразия различных размерностей и топологий.

Основные постулаты петлевой квантовой гравитации II могут быть сформулированы следующим образом:

• Состояния квантовой теории гравитации даются абстрактными спиновыми сетями, ассоциированными с теорией представлений данной алгебры или супералгебры Хопфа, A (Здесь спиновая сеть есть граф, ребра которого помечены представлениями A и узлы которого представлены инвариантами A)
• Истории теории даются спиновой пеной, помеченной теми же самыми представлениями. Динамика в теории определяется эволюцией амплитуд, связанных с узлами спиновой пены (или, эквивалентно, локальными движениями, посредством которых эволюционирует спиновая пена).

Многие результаты петлевой квантовой гравитации I я применяю в подходящим способом обобщенной форме к петлевой квантовой гравитации II. Таким образом, квантовая гравитация II определяет широкий класс независимых от фона квантовых теорий пространства, времени и гравитации. Существуют даже предположения, что специальная форма петлевой квантовой гравитации II может быть независимой от фона теорией струн. Есть много моделей петлевой квантовой гравитации II, которые не являются петлевой квантовой гравитацией I.

Примеры включают модели динамической триангуляции и модели причинной динамической триангуляции. Они рассматривают тривиальный случай, когда алгебра A содержит только тождественный оператор, но они имеют состояния, которые описываются в терминах графов и историй, которые удовлетворяют определению модели спиновой пены. Мы обсудим результаты, достигнутые в этих моделях ниже.

Наконец, следует отметить, что по крайней мере в размерностях $2 + 1$ и $3 + 1$ космологическая постоянная кодируется естественным образом во всех петлевых квантовых теориях гравитации, и связана с квантовой деформацией алгебры представлений локальной группы Лоренца. Можно представлять себе теории петлевой квантовой гравитации II в следующих терминах. Предположим, мы хотим построить полностью независимую от фона квантовую теорию поля.

Такая теория должна быть независима от любых ингредиентов классической теории поля, включая многообразия, координаты, метрики, связности и поля. Что останется от квантовой теории, когда мы удалим все ссылки на эти структуры? Ответ состоит в том, что только алгебра, представления и комбинаторика. Модели петлевой квантовой гравитации II есть ни что иное как общий класс квантовых теорий, построенных только из этих ингредиентов. Следовательно, можно представить обобщенную спиновую пену как тип обобщенной диаграммы Фейнмана, в которой метки импульса заменены представлениями некоторой алгебры A, а дельта-функция сохранения энергии и импульса в узлах заменена инвариантами A.

Открытые вопросы в петлевой квантовой гравитации

Петлевая квантовая гравитация дает явно согласованное микроскопическое описание квантового пространства-времени и в гамильтоновом формализме, и в форме интеграла по путям. Вероятно, можно сказать, что нет других подходов к квантовой гравитации, которые собрали бы такой длинный список в высшей степени нетривиальных результатов, касающихся квантового пространства-времени на уровне, независимом от фона. В то же время, остаются важные открытые проблемы.

Главная открытая проблема касается того, получается ли, и каким образом, в подходящем низкоэнергетическом пределе ОТО вместе с квантовыми полями материи.

Для случая $\Lambda \neq 0$, имеются веские указания, что приемлемое решение может быть достигнуто, основываясь на разложениях в окрестности состояния Кодама. Однако, вопрос о том, имеет ли теория хороший низкоэнергетический предел, открыт для состояний общего вида. Это включает случай $\Lambda = 0$, в котором состояние Кодама не существует. Это серьезная проблема, так как возможно, что теория конечна в ультрафиолетовом пределе, но терпит неудачу в смысле наличия фазы, в которой есть что-то вроде низкоэнергетического описания в терминах ОТО. Насколько известно, это фактически случается в некоторых подходах к квантовой гравитации, таких как евклидова динамическая триангуляция в 4-х измерениях.

Таким образом, если петлевая квантовая гравитация и терпит неудачу, то понятно, в чем может заключаться наиболее вероятная причина.

Для изучения проблемы низкоэнергетического поведения независимо от состояния Кодама, реализуется следующая исследовательская программа:

• Изучение ренормализационной группы, основанное на переформулировке ренор- мализационной группы для моделей спиновой пены. В качестве побочного продукта этой работы было показана, что в то время, как ренормализационная группа не является группой, она обладает естественными алгебраическими свойствами, как и алгебра Хопфа.
• Было показано, что суммы по меткам в некоторых моделях спиновой пены сходятся. Это удивительно, так как сумма по меткам является аналогом интегралов по импульсу в пертурбативной квантовой теории.
• Имеется понимание когерентных состояний квантовых гравитационных полей, которые, как ожидается, играют ключевую роль в понимании низкоэнергетического предела в рамках гамильтонова формализма.

Следует также подчеркнуть, что вопрос о том, имеют ли модели спиновой пены хороший низкоэнергетический предел, должен задаваться не только для квантовой ОТО или супергравитации в размерности $3+1$ (т. е. петлевой квантовой гравитации I), но для всего бесконечного множества теорий, определяемых петлевой квантовой гравитацией II.

Имеются следующие возможности:

• Широкий класс петлевых квантовых теорий гравитации имеет хороший низкоэнергетический предел. В этом случае низкоэнергетический предел не обладает ни ограничительной ни предсказательной силой.
• Хороший низкоэнергетический предел имеет ограниченное множество, или, возможно, всего одна петлевая квантовая теория гравитации. В этом случае существование низкоэнергетического предела обладает предсказательной силой. Например, может оказаться, что только теории петлевой квантовой гравитации с неисчезающим значением Л будут иметь хороший низкоэнергетический предел.

Когда существует хороший низкоэнергетический предел, можно обсуждать теорию возмущений вблизи него. Так как исследование низкоэнергетических возбуждений показывает, что не существует пертурбативных состояний вблизи фона петлевой квантовой гравитации с длиной волны меньше чем планковская длина, ожидается, что теория возмущений будет конечной. До сих пор, однако, не было получено никаких деталей за пределом линеаризованных состояний. Таким образом, это остается важным открытым вопросом. Один из возможных путей к его решению использует разложения вблизи состояния Кодама. Другой набор открытых вопросов состоит в построении гамильтонианов для получения более детальной информации о динамике в гамильтоновой теории. В то время как важно, что имеется много точных решений для полного набора [гамильтоновых] связей, из большинства решений трудно извлечь физику из-за проблемы построения полностью диффеоморфно инвариантных наблюдаемых.

Один из подходов, который может быть еще развит, состоит в том, чтобы фиксировать временную калибровку, используя либо граничные условия, либо поля материи для определения часов, и построить соответствующие гамильтонианы как операторы на пространстве диффеоморфно инвариантных состояний спиновой сети. В то время, как появилось несколько статей о реализации асимптотически плоских граничных условий, в этой области требуется еще работа. Другим важным шагом должно быть распространение теорем о положительной энергии с классической на квантовую теорию. В общем, требуется дальнейшее развитие методов получения динамических предсказаний на основании теории. Другой важный открытый вопрос — это статус глобальной лоренц-инвариантности. Мы можем заметить, что нет причины, по которой квантовая гравитация должна быть лоренц-инвариантной, так как это только глобальная симметрия частного решения классического предела теории. Глобальные симметрии ни коем образом не являются симметриями фундаментальной теории гравитации, ни классически, ни квантово-механически. Они являются симметриями частных решений классической теории. Реализуются ли эти симметрии полностью в квантовых состояниях, которые имеют полуклассические приближения, соответсвующие классическим решениям, является открытым вопросом. Упомянутые результаты означают, что глобальная лоренцева симметрия не полностью реализуется обычным способом. Действительно, как упоминалось, некоторые недавние вычисления показывают наличие коррекций планковской шкалы к соотношению энергии-импульса в форме (2), эффекту, который должен отсутствовать, если лоренцевы преобразования являются точной симметрией .

Одна из проблем здесь состоит в том, что различные вычисления основаны на разных предположения об основном состоянии. В некоторых основное состояние не является лоренц-инвариантным, поэтому нет ничего удивительного в том, что возмущения вблизи него не имеют лоренц-инвариантного спектра. Однако, модифицированные дисперсионные соотношения могут быть обнаружены также при изучении низкоэнергетических возбуждений предполагаемого основного состояния, которое не является выделенной привилегированной системой отсчета. Вопрос, следовательно, динамический: можем ли мы достаточно точно определить основное состояние, так, чтобы теория сделала недвусмысленные предсказания для параметров соотношения энергии-импульса (2)?

Если эти предсказания выживут после дальнейшего изучения, то другой важный вопрос будет состоять в том, который из сценариев A) или B), обсуждаемых в разделе 4, реализуется. Как мы уже упоминали там, каждая из возможностей не только ведет к эффектам, которые могут наблюдаться в экспериментах настоящего или ближайшего будущего, но вполне возможно, что в сценарии A) некоторые вычислительные результаты не согласуются с современными наблюдениями. Если петлевая квантовая гравитация ведет к сценарию A), она может, видимо, быть исключена как квантовая теория гравитации. Есть, однако, простая причина, почему мы должны ожидать, что реализуется случай B). Это то, что в классической ОТО существование эффектов, связанных с привилегированной системой отсчета исключено из-за условия инвариантности под действием гамильтоновой связи, несмотря на отсутствие глобальной лоренцевой инвариантности.

Это происходит потому, что в любой компактной области гамильтонова связь может генерировать изменения в расслоении [slicing], что в любой конечной области неотличимо от лоренцевых бустов. Это верно даже в случае таких решений, как однородные космологические решения, которые имеют привилегированную систему отсчета. Сейчас некоторые из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации говорят нам, что гамильтонова связь может быть определена и решена точно, и что квантование не вводит аномалии в алгебру связей. Это делает очень вероятным, что любое квантовое состояние, которое является одновременно и точным решением гамильтоновой связи, и имеет полуклассический предел, будет в этом пределе описывать физику, которая в лидирующем порядке инвариантна под действием классической гамильтоновой связи.

Отсюда следует отсутствие привилегированной системы отсчета в классическом пределе точного решения гамильтоновой связи. Таким образом, это исключает сценарий A), поскольку теория определена в терминах решения всех связей. Однако, нет причин ожидать глобальной лоренцевой инвариантности, которая должна быть реализована как линейная, а не как нелинейная инвариантность. Наоборот, есть хорошие физические основания ожидать случай B), в котором планковская шкала может быть независима от наблюдателя в пределе, в котором реализуется инвариантность в выделенной системе отсчета. Другой набор открытых проблем связан с физическим скалярным произведением. Скалярное произведение на диффеоморфно и калибровочно инвариантных состояниях известно точно в терминах состояний спиновой сети.

В формализме Тиманна использованные $SU(2)$ связности действительны, так что проблема реализации всех действительных наблюдаемых как эрмитовых операторов решена. Однако скалярное произведение, может быть, придется еще модифицировать для того, чтобы быть уверенным, что физические состояния, являющиеся решением всех связей, включая гамильтонову связь, нормируемы. Полное выражение для физического скалярного произведения известно в формализме спиновых сетей. Однако, вряд ли оно имеет простую замкнутую форму.

Таким образом, новая особенность моделей спиновой пены состоит в том, что физическое скалярное произведение входит в интеграл по путям, который определяет физические амплитуды для эволюции, и его [скалярное произведение] приходится оценивать в любой использованной схеме аппроксимации для того, чтобы получить физические амплитуды из интеграла по путям для спиновой пены. Таким образом, в то время как решение этой проблемы детально известно, было бы неплохо понять, как оно в деталях реализуется в различных разложениях около непертурбативных состояний и историй.

Есть также несколько нерешенных проблем, касающихся роли группы четырехмерных диффеоморфизмов в гамильтоновой теории. Они относятся к деталям регуляризации гамильтоновых связей и взаимоотношениям между гамильтоновым квантованием и квантованием с помощью интеграла по путям. Ряд соответствующих проблем имеет дело с отношением между различными формами квантовых гамильтоновых связей, получаемыми из различных процедур регуляризации и различного упорядочения операторов. Мы можем заметить, что единственное необходимое условие на форму кандидата в квантовую гамильтонову связь есть то, что он должен иметь бесконечномерное пространство решений, соответствующее теории с бесконечным числом степеней свободы. Это требование удовлетворено для связей в форме Тиманна, и имеется доказательство, что оно также удовлетворено для формы связей, которые решаются состоянием Кодама.

Раньше предлагались дополнительные условия, имеющие дело с алгеброй квантовых связей, однако кажется невозможным реализовать их в реальной квантовой теории поля, где связи должны быть определены как пределы регуляризованных операторов. Так как мы знаем, что фактически существует бесконечномерное пространство решений для связей, ни одна из этих проблем не оказывается фундаментальной, но, тем не менее, они должны быть решены.

Один из способов суммировать статус петлевой квантовой гравитации I и II состоит в том, чтобы указать возможные способы, которыми она может быть опровергнута.

• Петлевая квантовая гравитация I будет опровергнута, если окажется, что низкоэнергетический предел квантовой ОТО, связанной с полями материи, не является классической ОТО, связанной с квантовыми полями материи. Как было упомянуто, до сих пор нет доказательства существования хорошего низкоэнергетического предела для нулевой космологической постоянной, и имеются хотя и положительные, но не вполне определенные указания на существование хорошего предела для случая положительной космологической постоянной.
• Петлевая квантовая гравитация II будет опровергнута, если не существует модели обобщенной спиновой пены, которая имеет низкоэнергетический предел, который является классической ОТО вместе с наблюдаемой стандартной моделью полей материи.
• Петлевая квантовая гравитация I или II может быть опровергнута, если они дадут предсказания, касающиеся эффектов планковского масштаба, которые фальсифицируются экспериментом.

Автор текста Ли Смолин.

Перевод осуществил Панов Александр Дмитриевич НИИЯФ МГУ, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник.

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.