Влияние скалярного поля на динамику Вселенной

Хотя Стандартная космологическая модель (СКМ), использующая в качестве темной энергии космологическую постоянную, успешно объясняет весь массив наблюдений, мы не можем исключить возможность того, что роль темной энергии может играть не только космологическая постоянная с уравнением состояния $p = w\rho$ где $w = - 1$, но и другие формы энергии. Наблюдательные данные показывают, что параметр уравнения состояния $w$ лежит в пределах $ - 1.33 < w <  - 0.79$

  1.  квинтэссенция $- 1 < w < - \frac{1}{3}$
  2. фантомная темная энергия $ - 1.33 < w < - 1$
  3. к-эссенция
  4. тахионное поле
  5.  газ Чаплыгина $p = - \frac{A}{\rho }$
  6.  и др.

Все эти виды энергий представляют собой скалярное поле с различными уравнениями состояния.

Покажем, как расширение Вселенной влияет на эволюцию скалярного поля.

Уравнение движения скалярного поля получается аналогично уравнениям движения в классической механике, как вариационная производная действия по координатам,$$ \eqalign{ & \delta S = \delta \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\frac{1} {2}\partial _\mu \phi \partial ^\mu \phi - V(\phi )} \right) = \cr & = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\frac{1} {2}\partial _\mu \phi \delta \partial ^\mu \phi + \frac{1} {2}\partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}\delta \phi } \right) \cr} $$ В силу симметрии формы $\frac{1}{2}\partial _\mu \phi \delta \partial ^\mu \phi + \frac{1} {2}\partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi = \partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi $ (одновременное поднятие и опускание индекса не изменяет знака слагаемых). Заметим также, что в силу линейности операций дифференцирования и варьирования (т.е. $\left[ {\partial _\mu ,\delta } \right]\phi = 0$ получим $$ \delta S = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\partial _\mu \phi \partial ^\mu \delta \phi - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}\delta \phi } \right) $$ рассмотрим производную от такого произведения $$ \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) = \partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi + \left( {\partial _\mu \partial ^\mu \phi } \right)\delta \phi $$ $$ \delta S = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left[ { - \left( {\partial ^\mu \partial _\mu \phi } \right) - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}} \right]\delta \phi + \int {d^4 x\sqrt { - g} } \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) $$ Поскольку варьирование происходит с зафиксированными на границе значениями скалярного поля $\left. {\delta \phi } \right|_{x_\nu ^b } = 0$, а также всегда можно выбрать такую область интегрирования, чтобы на границе значения поля обращались в ноль. $$ \int {d^4 x\sqrt { - g} } \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) = 0 $$ Тогда в силу произвольности вариации $\delta \phi \ne 0$ $$ \left( {\partial ^\mu \partial _\mu \phi } \right) + \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }} = 0 $$ Рассмотрим, что означает обозначение $\partial ^\mu \partial _\mu$: $$ \partial ^\mu \partial _\mu \phi = g^{\mu \nu } \partial _\mu \partial _\nu \phi = g^{\mu \nu } \partial _\mu \partial _\nu \phi - g^{\mu \nu } \Gamma _{\mu \nu }^\rho \frac{{d\phi }} {{dx^\rho }} $$

В силу того что мы рассматриваем скалярное поле, зависящее только от времени, в однородной и изотропной Вселенной с метрическим тензором, $$ g_{\mu \nu } = \left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - a^2 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - a^2 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - a^2 } \\ \end{matrix} } \right) $$ $$ g^{\mu \nu } = \left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - a^{ - 2} } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - a^{ - 2} } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - a^{ - 2} } \\ \end{matrix}} \right) $$ учитывая что $$ \eqalign{ & \Gamma _{ij}^0 = \frac{1} {2}g^{00} \left( {\partial _j g_{0i} + \partial _i g_{0j} - \partial _0 g_{ij} } \right) = a\dot a\delta _{ij} \cr & \Gamma _{0j}^i = \frac{1} {2}g^{il} \left( {\partial _j g_{l0} + \partial _0 g_{lj} - \partial _l g_{0j} } \right) = \frac{{\dot a}} {a}\delta _{ij} \cr} $$ $$ \eqalign{ & \partial ^\mu \partial _\mu \phi = g^{00} \partial _0 \partial _0 \phi - g^{ij} \Gamma _{ij}^\rho \frac{{\partial \phi }} {{\partial x^\rho }} = \ddot \phi + a^{ - 2} \left( {\Gamma _{11}^0 + \Gamma _{22}^0 + \Gamma _{33}^0 } \right)\dot \phi = \cr & = \ddot \phi + a^{ - 2} \left( {3a\dot a} \right)\dot \phi = \ddot \phi + 3\frac{{\dot a}} {a}\dot \phi = \ddot \phi + 3H\dot \phi \cr} $$ в результате приходим к уравнению эволюции однородного скалярного (вещественного) поля в расширяющейся Вселенной $$ \ddot \phi + 3H\dot \phi + V'\left( \phi \right) = 0 $$ Это уравнение Клейна-Гордона

Заметим, что фоновое взаимодействие обеспечивает сохранение энергии скалярного поля, несмотря на наличие «силы трения» в уравнении Клейна-Гордона. Докажем это утверждение.

Запишем первое начало термодинамики: $$ dE + pdV = TdS $$ так как энтропия Вселенной сохраняется имеем: $$ dE + pdV = TdS = 0 $$ Тензор энергии-импульса $$ T_{\mu \nu } = \partial _\mu \phi \partial _\nu \phi - \frac{1} {2}g_{\mu \nu } \left[ {\frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \partial _\alpha \phi \partial _\beta \phi - V(\phi )} \right] $$ для однородного поля $\phi$, зависящего только от времени сводиться к: $$ \eqalign{ & T_{00} = \rho = \partial _0 \phi \partial _0 \phi - \frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\alpha }}\frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\beta }} + V(\phi ) = \frac{1} {2}\dot \phi ^2 + V(\phi ) \cr & T_{ij} = \delta _{ij} p = \frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\alpha }}\frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\beta }} - V(\phi ) = \delta _{ij} \left( {\frac{1} {2}\dot \phi ^2 - V(\phi )} \right) \cr} $$ Так как $dE = Vd\rho + \rho dV$ тогда $dE + pdV = TdS = 0$ примет вид: $$ Vd\rho + \rho dV + pdV = 0; $$ Вынесем за скобки $dV$ $$ Vd\rho + (\rho + p)dV = 0; $$ Где как было показано выше $$ \rho + p = \frac{1} {2}\dot \phi ^2 + V(\phi ) + \frac{1} {2}\dot \phi ^2 - V(\phi ) = \dot \phi ^2 $$

$V = a^3 V_0$ подставляем в $Vd\rho + (\rho + p)dV = 0$ $$ Vd\rho + \dot \phi ^2 dV = 0; $$ $$ \eqalign{ & V\frac{{d\rho }} {{dt}} + \dot \phi ^2 \frac{{dV}} {{dt}} = 0; \cr & a^3 (\dot \phi \ddot \phi + V'_\phi \dot \phi ) + 3a^2 \dot a\dot \phi ^2 = 0 \cr} $$ И окончательно получим $$ \ddot \phi + 3H\dot \phi + V'(\phi ) = 0 $$

10 Января 2011, 21:36    Oleg    4710    0

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.